[HNOI2004] 敲砖块

大意

  • 给定一个如下的三角形，每个格子有数字。
  • 可以敲掉一些格子，若要敲掉当前格子，则必须敲掉左上和右上的格子。
  • 若最多能敲掉 mm 个格子，求最大的权值和。
  • 第一行格子数目 n≤50n \le 50 。
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题解

可以发现，敲掉的应该是这样的：

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可以想到 dp ，但不行，因为下一层的转移依赖上一层敲掉了哪些砖块，而显然不能状压。

考虑进行转换。

首先先向左推。

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然后向左旋转 90°90 \degree 。

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04  76  11
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这样，要敲掉的就变成了：

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发现，每一行要敲的必须不多于上一行敲的加 11 。

可以 dp 了。
设 f(i,j,k)f(i, j, k) 为考虑完了第 ii 行，该行敲了 jj 个，一共敲了 kk 个最大权值。
有转移：

f(i,j,k)=max⁡(f(i−1,j′,k−l),j−1≤j′≤i−1)+sum(i,1…l)f(i, j, k) = \max(f(i - 1, j', k - l), j - 1 \le j' \le i - 1) + sum(i, 1 \ldots l)

代码

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/*
author: byronwan
problem:
    url: https://www.luogu.com.cn/problem/P1437
    title: [HNOI2004] 敲砖块
title: 2022-09-11
*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 60, MAXM = 1250;

int n, m;
int a[MAXN][MAXN], b[MAXN][MAXN];
int sum[MAXN][MAXN];

void read()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= (n - i + 1); j++) cin >> a[i][j];
    }
}

void pre()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) b[n - j + 1][i] = a[i][j];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) sum[i][j] = sum[i][j - 1] + b[i][j];
    }
}

int dp[MAXN][MAXN][MAXM];
int calc()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            for (int k = j * (j + 1) / 2; k <= m; k++) {
                for (int l = max(j - 1, 0); l <= i - 1; l++) {
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][l][k - j] + sum[i][j]);
                }
            }
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        res = max(res, dp[n][i][m]);
    return res;
}

int main()
{
    read();
    pre();
    cout << calc() << endl;
}